Intersection entre une parabole et des droites

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Pour tout  $m$  réel, on définit la droite  $(d_m)$  d'équation  $y=2x+m$ .
On considère la parabole $(P)$  d'équation  $y=x^2+6x+6$ .

1. a. Montrer que les abscisses des éventuels points d'intersection de $(d_m)$ et $(P)$ sont solutions de l'équation  $x^2+4x+(6-m)=0$ .
    b. Déterminer le nombre de points d'intersection   de $(d_m)$ et $(P)$ suivant les valeurs de  $m$ .

2. Considérons les valeurs de $m$ pour lesquelles la parabole  $(P)$  et la droite  $(d_m)$  ont deux points d'intersection, notés $\text{A}$  et  $\text{B}$ , et soit $\text{C}$  le milieu de  $\text{[AB]}$ .
    a. Exprimer les coordonnées de  $\text{A}$  et  $\text{B}$  en fonction de  $m$ .
    b. Déterminer les coordonnées du point  $\text{C}$  en fonction de  $m$ .
    c. Si  $m$  est strictement supérieur à  $2$ , à quel ensemble  $E$  appartient le point  $\text{C}$  ?

Le fichier de géométrie dynamique permet de conjecturer les réponses aux différentes questions.